三门问题：直觉究竟去了哪里？
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导语：三门问题，也被称为蒙提霍尔问题，是一道著名的概率问题：一个游戏节目中共三扇门，一扇门后有汽车，另两门后只有山羊，你选择了一扇门但不打开，这时主持人会在另两门中打开一个后面是山羊的门，现在你换不换自己刚才选择的门？30年前这一问题被美国一知名杂志刊登后引发了热议，因为直觉告诉我们换不换都是一样的，但答题人选择换。数学爱好者、专业人士纷纷加入讨论，进行了一场旷日持久的论战，还发展出了诸多变种。现在让我们来回顾一下这道经典问题，来看看直觉到底哪出错了，信息又是如何影响结果的。
撰文 | 张和持
问题背景
在美国的一档节目Let's Make a Deal 中，主持人蒙提·霍尔设置了一项小游戏：
在你的面前有三扇门，其中一扇背后藏有一辆价值不菲的汽车；剩下的两扇背后则分别是两头山羊。你现在有机会选择一扇门，选好之后先不要打开，这时主持人会在另外两扇门中，开启一扇山羊门。现在你有两个选择，是应该维持原来的选择，还是转而选择另一扇没有开启的门？
这看起来似乎是一个没有深度的问题。可供选择的两扇门之间没有什么不同。不管选哪个，概率都应当是相同的才对。果真如此吗？
实际上这个问题有很古老的历史，可以追溯到法国数学家伯特兰（Joseph Bertand）的盒子悖论，后来著名的数学科普大师马丁·加德纳（Martin Gardner）也提出过与三门问题相似的囚徒问题。1975年美国统计学家塞尔文（Steve Selvin）根据电视节目改编提出了这一问题，投给了《美国统计学家》，这也是蒙提霍尔问题名称的由来。而真正引发讨论是到了1990年，一位读者向当时美国知名杂志《游行》（Parade）的专栏“交给玛丽莲”提出了关于这一问题的询问。
玛丽莲·莎凡特（Marilyn vos Savant）曾被吉尼斯世界纪录认定为世界上智商最高的人，后来成为这家杂志社的专栏作者专门回答各类问题。她给出的回答是：应该换门，而且换门后，开出汽车的概率将变为原来的两倍。
玛丽莲的吉尼斯记录颇受争议，她给出的这个答案也同样。人们纷纷向她写信，质疑她的结论。一时间，社会各界都在谈论这诡异的概率。来信表示反对的占了92%，其中有将近 人拿过博士学位；65%来自大学，特别是数学等院系的信，都反对她的答案。蒙提·霍尔问题，或称三门问题，一下子成为了关注的焦点。90年代的十年间，40多种学术刊物发表了关于这一问题超过75篇论文。
反对并不是毫无根据。关于问题和答案的表述不甚严谨，表面上看，我们也看不出换不换门究竟有什么决定性的区别。玛丽莲为了说服反对者，专程组织了几次实验，其结果都证实了她的结论。
笔者听说这个问题，是在多年以前看的另一档美国电视节目 MythBusters ，中文译为 流言终结者 。两位主持人演示过的诸多实验令人印象深刻。这一次他们也同样忠实地再现了三扇门和山羊。最终他们的实验结果证实了玛丽莲的答案：不换门，概率 ；换门，概率 。
其实我们不一定非得大张旗鼓地搞些花里胡哨的东西，用电脑也能模拟，得出的答案没有不同。
那么这样看来，玛丽莲的答案是对的了。现在的问题是，我们应该如何解释这样的结果？是我们的直觉究竟出了问题吗？接下来我们并不打算解释谁的观点为什么对，谁的观点又为什么错；我们细细来看问题的前因后果，把所有条件和结论整理清楚。
简单直观的图示解答
最不动脑的方法是把所有可能列出来，如下图所示，当玩家选择1号门的情况下所有的可能性。
但这并不代表我们真正理解了问题所在。为了解答疑惑，我们先一步一步理清思路。首先，三门问题与两扇门二选一究竟有何不同？或者说，我们刚刚开始选定的这扇门究竟产生了什么样的影响？
第一次的选择，的确是随机的。如果这时候把门打开，那么有车的概率就是 。而剩下的两扇门中，必然有一扇山羊门。所以打开的山羊门不会影响这个 。那么这样说来，用总的 去减 ，就应该是剩下那扇门开出汽车的概率， 。这样的确说得过去：一开始概率分布是均匀的：
打开山羊门之后， 的概率被“挤”到另一个门上了：
回到一开始的疑问：我们一开始的选择对结果产生了什么影响？
用条件概率来直接计算
三门问题中所提到的“我们刚开始选的门对剩下那个门的影响”，数学上我们称之为条件概率，用
来表示事件 发生的情况下，事件 发生的概率。那么自然（其实这是条件概率定义），条件概率就等于 发生的概率除以 发生的概率：
其中分子表示 两个事件都发生的概率。在这个问题中，关键在于我们要求的是剩下的门开出汽车的概率。那 事件就是剩下那门开出汽车。 是什么呢？我们最初做的选择，有两个结果：一开始就选到车，我们记为 ；一开始选到山羊，记为 。这样，剩下的门开出汽车的概率，就应该考虑到两种情况的条件概率，分别乘上两个先发事件的概率（相当于权重），再加起来
这个式子称为全概率公式，有了它我们可以具体计算。如果一开始就选到了车，那剩下的两个门里肯定没有车。所以 ，那么贡献概率的就只有第二项了。如果一开始选到山羊，那剩下的门就一定是车，所以 ，这样算出来
也是非常自然的结果。第一次选出山羊的 概率全部贡献到剩下的门开出汽车的概率中了，所以换门概率更高也不足为奇。主持人开山羊门并不能改变一开始选到车的概率，但却改变了剩下的门开出车的概率：如果不开门，条件概率 本应该是 （毕竟剩下的两个门概率均等），而开门后，山羊门不可能有车，所以条件概率变成了 。或者用贝叶斯理论的话说：主持人开的那扇山羊门，为我们提供了关于剩下那个门的信息。
用贝叶斯公式来追本溯源
虽然问题就解决了，但还是不知道我们最开始错误的直觉来自哪里。我们来思考一下主持人“提供信息”的问题。一切的改变，都是因为主持人提供给我们的信息：主持人很明显是知道门背后都是些什么，才打开山羊门的。那要是主持人根本就不知道汽车在哪里，只是随手选择了一扇门，而这扇门恰好是山羊门的话，主持人岂不是就不能提供任何信息了？
为了验证这个想法，我们就假定主持人的开门行为完全是随机的。记他开出山羊门这个事件为 ，那么还是使用全概率公式
我们想要知道的，就是当事件 发生时，事件 ，也就是最初的门开出汽车的概率。因为主持人自己都不知道汽车在哪，所以如果要做实验的话，样本里肯定存在主持人开出汽车的情况。而我们现在要算的条件概率 ，描述的就应该是在排出了这些样本后的实验结果。接下来我们就来计算
看！果不其然，概率是 。第二个等号其实也算是全概率公式。这个结果符合我们的直觉：如果主持人跟我们一样什么也不知道，那不管换不换门概率都是一样的。至此，我们已经完全搞清楚了这个问题。我们看到，一个看似毫无意义的行为，竟然能为决策者提供如此多的信息。那么在更为复杂的博弈中，找到对手留下的蛛丝马迹便尤为重要。
下面详细说一下这个算式。
这整个式子被称作贝叶斯公式，其中最神奇的地方，莫过于为了计算 ，竟然用到了 。贝叶斯的思想最初不被人接受。贝叶斯公式相当于是在知道了结果的情况下求原因。同时代的数学家们批判它为“玄学”，可在三门问题中，确实派上了用场。
为了理解这种思维，让我们假想一个工厂，有三台机器生产同一种零件，事件 分别表示一个零件是由某一台机器生产的，事件 表示生产出次品。在生产中，每台机器产生次品的概率 通常是已知的，总的次品率 也是已知的。那么对于任意一个次品，它更有可能是哪台机器生产出来的呢？这种情况下，我们就需要计算 ，而这用到的也是贝叶斯公式，读者朋友们感兴趣的话自己试试推导，跟我们上面的计算步骤差别不大。
这种由果溯因的思路一般称为贝叶斯推断。这种方法最早的特例是托马斯·贝叶斯证明的，后来拉普拉斯将其推广，并应用于天体力学、医疗统计学等方面面。在面对未知的自然界时，我们无法知晓其背后的法则，但能观察到现象，比如天体力学中，就是可观测天体的大小、数量与过去的轨迹；医疗统计学中，则是患者的症状、化验结果、CT数据等，有了这些数据，我们就可以猜测，是否存在一个我们尚未观测到的天体，或是患者是否得了某种病。猜测自然有可能是错的，现在我们有了贝叶斯推断，就能反过来计算我们所作假设成立的概率。
这一方法近几十年来更多应用于机器学习领域，或者更窄的概念：统计学习。任何包含了模式识别的算法，基本上都能用上贝叶斯推断，包括人脸识别，自动驾驶，他们会用到更加复杂的概念：当事先不存在假设时，就需要人为设定一项先验分布。不过总的来说，思想与最经典的贝叶斯公式一脉相承。如今，以此为基础的统计学仍在飞速发展。
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